図形と方程式における「直線」の扱い方をマスターします。直線の式を作る基本から、2直線の平行・垂直関係、そして超重要な「点と直線の距離公式」までを詳しく解説します。
1. 直線の方程式の作り方
直線は「通る1点と傾き」または「通る2点」が与えられれば1つに決まります。
① 通る1点 $(x_1, y_1)$ と傾き $m$ が分かっているとき
$$y – y_1 = m(x – x_1)$$
② 通る2点 $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ が分かっているとき
- $x_1 \neq x_2$ のとき（傾きが存在する）：$$y – y_1 = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1}(x – x_1)$$
- $x_1 = x_2$ のとき（$y$ 軸に平行な直線）：$$x = x_1$$
2. 2直線の位置関係（平行条件・垂直条件）
2直線 $l_1: y = m_1x + k_1$ と $l_2: y = m_2x + k_2$ の関係は傾きで決まります。
- 平行条件：$m_1 = m_2$ （傾きが等しい）
- 垂直条件：$m_1 m_2 = -1$ （傾きの積が $-1$）
一般形（$ax + by + c = 0$）の場合
2直線 $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ と $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ について：
- 平行条件：$a_1b_2 – a_2b_1 = 0$
- 垂直条件：$a_1a_2 + b_1b_2 = 0$
最重要ポイント：垂直な直線の傾きは「符号を変えて逆数にする」（例: 傾き $2$ に垂直な直線の傾きは $-\frac{1}{2}$）と覚えておきましょう。
3. 点と直線の距離公式
点 $\text{P}(x_1, y_1)$ と直線 $l: ax + by + c = 0$ の最短距離 $d$ は、次の公式で求められます。
$$d = \frac{\vert{}ax_1 + by_1 + c\vert{}}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$
公式を使うときの注意点
必ず直線の方程式を $ax + by + c = 0$（一般形） の形にしてから代入してください。
例題
点 $(2, 1)$ と直線 $3x – 4y + 3 = 0$ の距離 $d$ を求めよ。
【解答】
$$d = \frac{\vert{}3(2) – 4(1) + 3\vert{}}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{\vert{}6 – 4 + 3\vert{}}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{5}{\sqrt{25}} = \frac{5}{5} = 1$$
4. まとめ
- 直線の基本形は $y – y_1 = m(x – x_1)$。
- 垂直条件は 傾きの積が $-1$。
- 点と直線の距離公式は、事前に直線式を $= 0$ の一般形 に整理する。
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