【数学Ⅱ】4-2: 単位円で理解する $\sin \theta, \cos \theta, \tan \theta$ の定義とグラフの性質

角の範囲が拡張されたことに伴い、三角比は単位円（半径1の円）上の座標として再定義されます。

1. 単位円による三角関数の定義

原点を中心とする半径1の単位円上で、角 $\theta$ の動径と円の交点を $\text{P}(x, y)$ とすると、次のように定義されます。

$$\cos \theta = x \quad (\text{交点の } x \text{座標})$$

$$\sin \theta = y \quad (\text{交点の } y \text{座標})$$

$$\tan \theta = \frac{y}{x} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \quad (\text{動径の傾き})$$

「$\cos$ は $x$ 座標、$\sin$ は $y$ 座標、$\tan$ は傾き」と暗記しましょう。

2. 相互関係の公式

数学Ⅰ同様、以下の重要な公式が成り立ちます。

1. $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$
2. $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$
3. $1 + \tan^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

3. 三角関数のグラフと周期

$y = \sin \theta$ と $y = \cos \theta$

• 値域：$-1 \leqq y \leqq 1$
• 周期：$2\pi$（$360^\circ$ ごとに同じ波を繰り返す）

$y = \tan \theta$

• 値域：実数全体（漸近線 $x = \frac{\pi}{2} + n\pi$ をもつ）
• 周期：$\pi$（$180^\circ$ ごとに繰り返す）

グラフの変形パターン $y = A \sin(k\theta – \alpha)$

• $A$：上下の伸縮（振幅）
• $k$：左右の伸縮 $\longrightarrow$ 新しい周期は $\frac{2\pi}{\vert{}k\vert{}}$
• $\alpha$：$\theta$ 軸方向への平行移動

4. まとめ

1. 単位円上で $\cos\theta$ は $x$ 座標、$\sin\theta$ は $y$ 座標。
2. $\sin, \cos$ の周期は $2\pi$、$\tan$ の周期は $\pi$。
3. $y = \sin k\theta$ の周期は $\frac{2\pi}{k}$。

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