「〜であることを証明せよ」という問題は苦手意識を持たれがちですが、等式の証明には決まった形（型）が存在します。パターンを覚えて論理的に式を変形していきましょう。
1. 等式証明の基本3パターン
等式 $A = B$ を証明する手順は、主に以下の3パターンです。
- （左辺）を変形して（右辺）にする（複雑な方の辺を変形する）
- （左辺）$-$（右辺）$= 0$ であることを示す
- （左辺）と（右辺）をそれぞれ変形して、同じ式 $C$ に導く（$A = C, B = C \Rightarrow A = B$）
2. 実践問題（条件のない証明）
問題
等式 $(a^2 + b^2)(x^2 + y^2) = (ax + by)^2 + (ay – bx)^2$ を証明せよ。
【解答例】
左辺と右辺をそれぞれ展開して比較します。
$$\begin{aligned} \text{（左辺）} &= a^2 x^2 + a^2 y^2 + b^2 x^2 + b^2 y^2 \\ \text{（右辺）} &= (a^2 x^2 + 2abxy + b^2 y^2) + (a^2 y^2 – 2abxy + b^2 x^2) \\ &= a^2 x^2 + a^2 y^2 + b^2 x^2 + b^2 y^2 \end{aligned}$$
よって、（左辺）$=$（右辺）が成り立つため、等式は証明されました。$\quad\blacksquare$
3. 条件付きの等式証明
「$a+b+c = 0$ のとき」や「$a:b = c:d$ のとき」といった条件がついている場合は、文字を減らす方針で進めます。
条件の扱い方の定石
- $a+b+c = 0 \longrightarrow c = -(a+b)$ として文字 $c$ を消去する。
- $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \longrightarrow \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k$ と置いて、$a = bk, c = dk$ と代入する。
4. 実践問題（比例式がある場合）
問題
$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ のとき、等式 $\frac{a+c}{b+d} = \frac{a}{b}$ を証明せよ。
【解答例】
$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k$ と置くと、$a = bk, c = dk$ と表せます。
$$\begin{aligned} \text{（左辺）} &= \frac{bk + dk}{b + d} = \frac{k(b + d)}{b + d} = k \\ \text{（右辺）} &= \frac{bk}{b} = k \end{aligned}$$
よって、（左辺）$=$（右辺）$= k$ となり、等式は成り立ちます。$\quad\blacksquare$
5. まとめ
証明問題では、「結論の式をそのまま使って変形しない」ことが大切です。必ず左辺・右辺を独立して扱い、論理的に「等しい」状態へ導きましょう。
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