【数学Ⅱ】6-2: 微分で求める接線の方程式！「曲線上の点」と「曲線外の点」からのアプローチ

微分係数が「接線の傾き」を表すことを利用して、3次関数などの曲線に接する「接線の方程式」を求める方法を解説します。

1. 曲線上の点における接線の方程式

曲線 $y = f(x)$ 上の点 $\text{A}(a, f(a))$ における接線は、「傾きが $f'(a)$ で、点 $(a, f(a))$ を通る直線」 です。

$$y – f(a) = f'(a)(x – a)$$

例題

曲線 $y = x^2 – 3x + 1$ 上の点 $(3, 1)$ における接線の方程式を求めよ。

【解答】

$f(x) = x^2 – 3x + 1$ と置くと、$f'(x) = 2x – 3$

$x = 3$ における傾きは $f'(3) = 2(3) – 3 = 3$

求める接線は、傾き $3$ で点 $(3, 1)$ を通るので、

$y – 1 = 3(x – 3) \implies y = 3x – 8$

2. 曲線外の点から引いた接線の方程式（超重要定型問題）

接点が与えられておらず、「曲線外の点 $\text{P}(p, q)$ から引いた接線」を求める問題では、解き方の定型手順が決まっています。

定型ステップ

1. 接点の座標を仮設定する：接点の $x$ 座標を $t$ と置き、接点を $(t, f(t))$ とする。
2. $t$ を用いて接線の式を作る：$y – f(t) = f'(t)(x – t)$
3. 通過する点 $\text{P}(p, q)$ を代入する：$x = p, y = q$ を代入して $t$ に関する方程式を作る。
4. $t$ の方程式を解いて接点を確定する：得られた $t$ をステップ2の式に書き戻して接線の方程式を完成させる。

3. まとめ

1. 曲線上の接線は $y – f(a) = f'(a)(x – a)$。
2. 曲線外の点からの接線は「接点を $(t, f(t))$ と置く」ことから始める。

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