2次方程式を実際に解くことなく、2つの解の「和（$\alpha + \beta$）」と「積（$\alpha \beta$）」の値を一瞬で算出できる画期的な道具、それが解と係数の関係です。
この記事では、公式の仕組みから対称式の変形テクニック、2解から方程式を逆算して作成する方法までを徹底解説します。
1. 解と係数の関係の公式
2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とすると、以下の関係が成り立つ。
$$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}, \quad \alpha \beta = \frac{c}{a}$$
公式の覚え方
- 和は マイナス がついて $\frac{b}{a}$
- 積は プラスのまま $\frac{c}{a}$
「最高次の係数 $a$ で割って、符号はマイナス・プラスの順」と覚えておきましょう！
2. 対称式の変形テクニック
解と係数の関係を使った問題では、$\alpha$ と $\beta$ を入れ替えても値が変わらない「対称式」の値を求めさせられることがほとんどです。
次の3大基本変形は暗記レベルで身につけましょう！
$$\begin{aligned} 1. & \quad \alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 – 2\alpha\beta \\ 2. & \quad \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\alpha + \beta}{\alpha\beta} \\ 3. & \quad (\alpha – \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 – 4\alpha\beta \end{aligned}$$
3. 実践問題（対称式の値）
問題
2次方程式 $2x^2 – 5x + 1 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、次の式の値を求めよ。
(1) $\alpha^2 + \beta^2$
(2) $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}$
【解答例】
解と係数の関係より、
$$\alpha + \beta = -\frac{-5}{2} = \frac{5}{2}, \quad \alpha\beta = \frac{1}{2}$$
(1) 対称式の変形を適用します。
$$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 – 2\alpha\beta = \left(\frac{5}{2}\right)^2 – 2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{25}{4} – 1 = \frac{21}{4}$$
(2) 通分して和と積の形にします。
$$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\alpha + \beta}{\alpha\beta} = \frac{\frac{5}{2}}{\frac{1}{2}} = 5$$
4. 2つの数を解とする2次方程式の作成
2つの数 $p, q$ を解とする2次方程式（$x^2$ の係数が 1）は、次のように作成できます。
$$x^2 – (p + q)x + pq = 0$$
つまり、「$x^2 – (\text{和})x + (\text{積}) = 0$」 の形にあてはめれば一発で作ることができます！
5. まとめ
- 解と係数の関係：$\alpha+\beta = -\frac{b}{a}, \alpha\beta = \frac{c}{a}$
- 対称式はすべて $(\alpha+\beta)$ と $\alpha\beta$ の組み合わせ に直す
- 方程式を作る時は $x^2 – (\text{和})x + (\text{積}) = 0$
この3点を押さえておけば、解と係数の関係に関する問題は完璧です！
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