∑（シグマ）の公式が使えず、受験生が特につまずきやすい難所が「(等差) × (等比) 型の数列の和」です。
一見すると複雑な式に見えますが、解くための必勝パターンは「ただ1つ」しかありません。
この記事では、(等差) × (等比) 型の識別テクニックから、解答のカギとなる「S−rS」の手順、計算ミスを防ぐポイントまで分かりやすく解説します！
1. (等差) × (等比) 型の特徴
まずは、問題を見たときに「あ、このパターンだ！」と見抜けるようになりましょう。
例えば、次のような和 Sn を考えます。
Sn=1⋅1+2⋅2+3⋅22+4⋅23+⋯+n⋅2n−1
各項の掛け算の前半と後半をバラバラに注目してみると、
- 前半の数（等差部分）： 1, 2, 3, 4, …, n （公差 1 の等差数列）
- 後半の数（等比部分）： 1, 2, 22, 23, …, 2n−1 （公比 2 の等比数列）
このように、「等差数列の項」と「等比数列の項」がペアで掛け合わされた形になっているのが大きな特徴です。
2. 解法のカギ：「S – rS」のテクニック
この型の和を求めるための唯一にして最大のテクニックが、「和 S から、公比 r を掛けた rS を引き算する（S−rS）」という解法です！
なぜ「S−rS」で解けるのか？
公比 r を掛けた式 rSn を「1桁右にずらして」並べ直して引き算をすると、不思議なことが起こります。
- 中央部分がすべて「純粋な等比数列の和」に変身する！
- 複雑だった(等差) × (等比) の組み合わせが消え、等比数列の和の公式が使えるようになる！
具体的にどうずらして計算するのか、次の例題で実際の計算手順を確認しましょう。
3. 例題で計算手順をマスター！
実際のテスト形式の問題で「S−rS」の手順をマスターしましょう。
例題
【問題】
次の和 Sn を求めよ。
Sn=1⋅1+2⋅3+3⋅32+4⋅33+⋯+n⋅3n−1
【解答・解説】
Step 1：公比 r を確認し、Sn と 3Sn をずらして並べる
等比部分の公比は r=3 です。
Sn の両辺に 3 を掛けた式 3Sn を作り、1項ずつ右にずらして縦に並べて引き算します。
Sn−) 3Sn−2Sn===1⋅11++2⋅31⋅31⋅3+++3⋅322⋅321⋅32+⋯++⋯++⋯+n⋅3n−1(n−1)⋅3n−11⋅3n−1+ n⋅3n− n⋅3n
Step 2：中央部分に「等比数列の和の公式」を使う
引き算した結果の真ん中の部分（1+3+32+⋯+3n−1）に注目してください！
ここは「初項 1、公比 3、項数 n の等比数列の和」になっています。
等比数列の和の公式 r−1a(rn−1) を当てはめます。
−2Sn=3−11(3n−1)−n⋅3n
−2Sn=23n−1−n⋅3n
Step 3：両辺を整理して Sn を求める
右辺を通分して 3n でくくります。
−2Sn=2(3n−1)−2n⋅3n
−2Sn=2(1−2n)⋅3n−1
両辺を −2 で割ります（分母に −2 を掛ける）。
Sn=−4(1−2n)⋅3n−1
分子の符号を入れ替えて整理します。
Sn=4(2n−1)3n+1
4. まとめ
今回は「(等差) × (等比) 型の数列の和」について解説しました。
- 見極め方： (等差) × (等比) の掛け算が並んでいたらこのパターン！
- 解法のカギ： 「S−rS」（公比 r を掛けて1項右へずらして引き算する）
- 計算ミスの防止策：
- 3Sn の末尾（一番右）につく −n⋅3n のマイナス忘れに注意！
- 左辺が −2Sn のようにマイナスがついたまま終わらないよう、最後に必ず割る！
手順さえ覚えてしまえば、毎回同じステップで確実に解けるボーナス問題になります。ずらして引く爽快感をぜひ体感してみてください！
次回は、数列の漸進ルールを学ぶ「【数学B】1-8: 漸化式とは？考え方と基本を分かりやすく解説！」をお届けします！
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