【数学Ⅲ】1-1-4 はさみうちの原理を完全攻略！漸化式・極限の融合問題と解法の定石

数学Ⅲ

2026.10.22

数列の極限において、直接極限値を計算するのが難しい複雑な式（ガウス記号、三角関数、階乗など）を扱う際の強力な武器が「はさみうちの原理」です。

また、入試では「数学B（数学C）の漸化式」と組み合わせた漸化式・極限の融合問題として頻出します。

この記事では、はさみうちの原理の基本から、不等式の作り方、漸化式との融合パターンの解法まで分かりやすく解説します！

1. はさみうちの原理とは？（基本定理）

はさみうちの原理とは、「直接求めるのが難しい数列 $b_n$ を、極限値が分かっている2つの数列 $a_n$ と $c_n$ で上下から挟み込む」という解法テクニックです。

すべての $n$（または十分大きい $n$）について、次の不等式が成り立っているとします。

$$a_n \le b_n \le c_n$$

このとき、両端の数列の極限が一致して、

$$\lim_{n \to \infty} a_n = \alpha \quad \text{かつ} \quad \lim_{n \to \infty} c_n = \alpha$$

ならば、挟まれた真ん中の数列の極限も同じ値になります。

$$\lim_{n \to \infty} b_n = \mathbf{\alpha}$$

💡 イメージ:

左側から追いかけてくる警察（$a_n$）と右側から追いかけてくる警察（$c_n$）が同じ場所 $\alpha$ に到着したら、間に挟まれた犯人（$b_n$）も絶対に $\alpha$ にいる、というイメージです。

$\sin \theta$ や $\cos \theta$ は、どんなに角 $\theta$ が大きく（小さく）なっても、必ず $-1 \le \sin \theta \le 1$ の範囲に収まるという性質を利用して挟み込みます。

次の極限を求めよ。

$$\lim_{n \to \infty} \frac{\sin n\theta}{n}$$

どんな実数 $n\theta$ に対しても、正弦（$\sin$）のとり得る値の範囲は以下の通りです。

$$-1 \le \sin n\theta \le 1$$

各辺を $n$（$n > 0$）で割ります。

$$-\frac{1}{n} \le \frac{\sin n\theta}{n} \le \frac{1}{n}$$

ここで、両端の極限を考えると、

$$\lim_{n \to \infty} \left(-\frac{1}{n}\right) = 0, \quad \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$$

となります。したがって、はさみうちの原理より、

$$\lim_{n \to \infty} \frac{\sin n\theta}{n} = \mathbf{0}$$

二次試験・難関大入試で最もよく出るのが、漸化式から出発して極限を求める融合問題です。

（小問1） 不等式 $\vert{}a_{n+1} – \alpha\vert{} \le k \vert{}a_n – \alpha\vert{}$（ただし $0 < k < 1$）が成り立つことを示す。
（小問2） 不等式を繰り返し適用して $\vert{}a_n – \alpha\vert{} \le k^{n-1} \vert{}a_1 – \alpha\vert{}$ を導く。
（小問3） $n \to \infty$ としたとき $k^{n-1} \to 0$ を利用し、はさみうちの原理から $\lim_{n \to \infty} a_n = \alpha$ を求める。

漸化式 $a_{n+1} = f(a_n)$ において、極限値 $\alpha$ は特性方程式 $\alpha = f(\alpha)$ の解になります。

この流れを頭に入れておくと、誘導問題に乗っかりやすくなります。

これで「1-1. 数列の極限」の基礎・基本パターンは網羅できました！次回は「1-2. 関数の極限」へと進みます。

💡 漸化式や記述答案の対策を強化したい方へ

はさみうちの原理は「答案の書き方（論理展開）」で減点されやすい分野です。『1対1対応の演習』や『標準問題精講』などの解説が丁寧な問題集で、模範解答の書き方を真似してトレーニングしましょう。