【数学Ⅲ】2-2-2 関数の増減と極値の求め方｜増減表の書き方と第2次導関数による判定法

いよいよ数学Ⅲの微分において、「関数のグラフを自分の手で正確にかき上げる」ための核心部分に入ります。

数学Ⅱでも増減表を描いて極値を求めましたが、数学Ⅲでは分数関数や指数・対数関数など、より複雑な関数の増減を調べる必要があります。

この記事では、第1次導関数を使った増減表の基本から、第2次導関数を用いたスマートな極値の判定方法までわかりやすく解説します！

1. 第1次導関数 $f'(x)$ と関数の増減

関数 $f(x)$ のグラフが「上がっている（増加）」のか「下がっている（減少）」のかは、第1次導関数 $f'(x)$ の符号によって決まります。

• $f'(x) > 0$ ならば： グラフは増加する（右肩上がり）
• $f'(x) < 0$ ならば： グラフは減少する（右肩下がり）

この性質を利用して、 $f'(x) = 0$ となる点（極候補の点）を境目にして、プラス・マイナスの符号を調べた一覧表が「増減表」です。

2. 極値をとるための条件と増減表の書き方

関数 $f(x)$ が $x = a$ で極値（極大値または極小値）をとるための大原則は次の通りです。

【極値の条件】

$f(x)$ が $x = a$ で微分可能であるとき、

$f(a)$ が極値ならば、必ず $f'(a) = 0$ である。

（ただし、逆「$f'(a) = 0$ ならば極値を持つ」は成り立たないので注意！）

⚠️ 注意すべき落とし穴（$f'(a) = 0$ だからといって極値とは限らない）

代表的な反例が $f(x) = x^3$ の $x = 0$ です。

• $f'(x) = 3x^2$ なので $f'(0) = 0$ となります。
• しかし、増減表を書くと、左右両側で $f'(x) \ge 0$ となり、グラフは単調増加（一時的に水平になるが曲がらない）するため、$x = 0$ では極値を取りません。

そのため、単に $f'(a) = 0$ を解くだけでなく、「その前後の符号がプラスからマイナス（またはマイナスからプラス）へ実際に切り替わっているか」を増減表で必ず確認する必要があります。

3. 第2次導関数 $f”(x)$ を使った極値の判定

「符号の変化を調べるのが面倒」「数式が複雑で代入しにくい」というときに強力な武器になるのが、第2次導関数 $f”(x)$ を使った極値の判定法です。

判定の定理

$f'(a) = 0$ であるとき、

• $f”(a) < 0$ ならば： $x = a$ で極大値をとる（上に凸の山型）
• $f”(a) > 0$ ならば： $x = a$ で極小値をとる（下に凸の谷型）

数式で符号変化を吟味しなくても、$f”(a)$ に $x = a$ を代入したときの「プラス・マイナス」を計算するだけで一発で極大・極小が判定できるため、計算の時短に非常に役立ちます。

4. まとめ：増減と極値攻略の鉄則

1. まず定義域を確認し、$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めて増減表の枠組みを作る。
2. 増減表では $f'(x)$ の符号変化（プラス・マイナス）を必ず確認し、極値をとる点を見極める。
3. 計算をスッキリさせたいときは、第2次導関数 $f”(a)$ の符号（正負）で極大・極小を判定するワザも活用する。

ここがクリアできたら、次はグラフの曲がり具合（曲線の向き）を調べる「グラフの凹凸・変曲点と正確なグラフ描画ステップ」へと進みましょう！

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