積分法の単元において、国公立大学や難関私大の2次試験で最も狙われやすいのが、「定積分で表された関数」に関する問題です。
「積分の中に変数 $x$ が混ざっている」「極限の式と積分が合体している」といった一見して複雑な問題も、決まったパターン（微分する・極限を計算する）を知っていれば確実に得点源にできます。
この記事では、定積分を含む方程式の解法から、微分係数の定義を利用した極限の求め方までわかりやすく解説します！
1. 定積分で表された関数の「2大原則」
積分区間に変数 $x$ が含まれる式（例：$\int_a^x f(t) dt$）を見たら、次の2つのアプローチを真っ先に思い浮かべるのが鉄則です。
🎯 定積分関数の攻略ルール
- 両辺を $x$ で微分する（積分と微分の関係を利用）
- 上下の端を一致させる値を代入する（$x = a$ を代入して $0$ を作る）
微分公式の仕組み
定積分のなかに変数 $x$ が含まれる関数を $x$ で微分すると、積分記号がスッと消えて中の変数が $x$ に置き換わります。
$$\frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(t) dt = f(x)$$
（※下端が定数で、上端が $x$ のみの式になっていることが大前提です！）
2. パターン①：定積分を含む方程式の決定（関数の決定）
【問題】
等式 $\int_{a}^{x} f(t) dt = x^2 – 3x + 2$ を満たす関数 $f(x)$ と、定数 $a$ の値を求めよ。
【解説・解答】
- 両辺を $x$ で微分して $f(x)$ を暴く両辺を $x$ で微分すると、左辺は $f(x)$ になり、右辺は $2x – 3$ になります。$$f(x) = 2x – 3$$
- 定数 $a$ を求める（上下の端を揃える代入法）元の式の両辺に $x = a$ を代入すると、左辺は $\int_{a}^{a} f(t) dt = 0$ になります。$$0 = a^2 – 3a + 2$$これを解いて、$$(a – 1)(a – 2) = 0 \implies \mathbf{a = 1, 2}$$
3. パターン②：定積分と極限の融合（微分係数の定義の利用）
「$\lim_{x \to a} \frac{1}{x-a} \int_{a}^{x} f(t) dt$」のような、極限と積分が組み合わさった式も入試の定番です。
考え方のコツ
定積分を $F(x) – F(a)$ （ただし $F'(x) = f(x)$）と捉え直すと、これはまさに「微分係数の定義そのもの」になります！
$$\lim_{x \to a} \frac{1}{x-a} \int_{a}^{x} f(t) dt = \lim_{x \to a} \frac{F(x) – F(a)}{x – a} = F'(a) = \mathbf{f(a)}$$
公式として丸暗記するよりも、「微分係数の定義に戻る」ことでどんな変形が来ても慌てず対応できます。
4. まとめ：定積分関数の鉄則
- 積分区間に $x$ が入っている式を見たら、「両辺の微分」と「定数の代入（上下を揃える）」をセットで行う。
- $f(t)$ のなかに $x$ が混ざっている場合は、一度展開して $x$ を積分記号の外に追い出してから微分する（超重要テクニック！）。
- 極限との融合問題は、微分係数の定義（平均変化率の極限）に持ち込んでスッキリ解決する。
ここがクリアできたら、次は積分法の応用編のメインテーマである「面積の求め方（曲線と直線の囲む領域）」へと進みましょう！
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