【数学Ⅲ】1-3-1 無限級数とは？部分和 $S_n$ の極限による収束・発散の判定ステップ

ここまで「数列の極限」「関数の極限」を学んできましたがいよいよ第1章のラストスパート、「無限級数（むげんきゅうすう）」に入ります。

「無限個の数字を次々に足し合わせていったら、合計はどうなるのか？」という、数学的におもしろく、かつ入試でも頻出のテーマです。

この記事では、無限級数の基本概念から、部分和を用いた収束・発散の判定方法、そして絶対に知っておくべき重要定理までわかりやすく解説します！

1. 「無限数列」と「無限級数」の違い

まず言葉の定義をしっかりと整理しておきましょう。

• 無限数列（$a_n$）:数値をただ「並べたもの」です。$$a_1, a_2, a_3, \dots, a_n, \dots$$
• 無限級数（$\sum$）:並べた数値を「ずっと足し合わせ続けていく式」のことです。$$\sum_{n=1}^{\infty} a_n = a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n + \dots$$

無限個の数を足すというのは直感的には不可能（計算が終わらない）に思えますが、これを数学的に厳密に扱うために登場するのが「部分和（ぶぶんわ）」という考え方です。

2. 部分和 $S_n$ と無限級数の収束・発散

無限級数の値を直接計算することはできないため、「最初の $n$ 項までの和（＝第 $n$ 部分和 $S_n$）」をまず求めます。

$$S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = a_1 + a_2 + \dots + a_n$$

この部分和 $S_n$ を作ったあとで、$n$ を無限大に飛ばす（$n \to \infty$）という操作を行います。この極限値がどうなるかによって、無限級数の運命が決まります。

収束・発散の判定ルール

• 収束:$\displaystyle\lim_{n \to \infty} S_n = S$ （有限確定値に落ち着く）とき、この無限級数は「和 $S$ に収束する」といいます。
• 発散（無限大・振動）:$\displaystyle\lim_{n \to \infty} S_n = \pm\infty$ または極限値がない（振動する）とき、この無限級数は「発散する」といいます。

3. 実戦演習：部分和を作って極限を求める

実際に部分和を利用して、無限級数が収束するかどうかを調べる定番の問題を解いてみましょう。

【問題】

次の無限級数の収束・発散を調べ、収束する場合はその和を求めよ。

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)}$$

【解き方の手順】

1. 第 $n$ 部分和 $S_n$ を求める一般項 $a_n = \frac{1}{n(n+1)}$ は、部分分数分解の形をしています。$$\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} – \frac{1}{n+1}$$これを利用して $S_n$ を書き出してみます。$$S_n = \left(1 – \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} – \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} – \frac{1}{4}\right) + \dots + \left(\frac{1}{n} – \frac{1}{n+1}\right)$$ 途中の項がすべて相殺されて消える（望遠鏡和）ため、残るのは初めと終わりだけです。$$S_n = 1 – \frac{1}{n+1}$$
2. 部分和の極限をとる（$n \to \infty$）$$\lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \left(1 – \frac{1}{n+1}\right) = 1 – 0 = \mathbf{1}$$
3. 結論極限値が有限確定値 $1$ となったため、この無限級数は「和 $1$ に収束する」となります。

4. 超重要！無限級数が収束するための「必要条件」

問題演習に入る前に、知っておかなければならない大原則があります。

【定理】無限級数 $\sum a_n$ が収束するならば、$\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n = 0$ である。

注意点（逆は成り立たない！）

「一般項の極限が $0$ ならば収束する」とは限らない点に注意してください（例：調和級数 $\sum \frac{1}{n}$ は $\lim a_n = 0$ ですが発散します）。

ただし、この定理の「対偶（タイグウ）」である、

「もし $\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n \neq 0$ ならば、その無限級数は絶対に発散する」

という性質は、テストや入試で「一瞬で発散を見抜く裏技」として非常に強力に使えます！

5. まとめ：無限級数のステップ

1. 無限個の足し算は直接できないので、まずは第 $n$ 部分和 $S_n$ を作る。
2. 部分和の極限 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} S_n$ を計算して、収束・発散を判定する。
3. 一般項の極限が $0$ でなければ、即座に「発散する」と判断してよい。

ここがクリアできたら、次は無限級数の中で最も出題頻度が高い「無限等比級数の和の公式と図形問題への応用」へと進みましょう！

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