【数学Ⅲ】3-2-3 回転体の体積の求め方｜円盤の積み上げ（定積分）の基本と計算公式

数学Ⅲの積分応用のなかでも、多くの受験生が「立体を頭の中でイメージするのが難しい…」とつまずきやすいのが「体積（回転体）」の単元です。

しかし、基本の考え方さえ押さえてしまえば、どんな複雑な立体も「薄い円盤（または円柱）をたくさん積み重ねるパズル」として機械的に解くことができます。

この記事では、回転体の体積を求める基本公式から、$x$x 軸まわり・$y$y 軸まわりの計算手順までわかりやすく解説します！

1. 回転体の体積とは？（円盤を積み上げる発想）

曲線 $y = f(x)$ を $x$軸まわりにぐるっと1回転させてできる立体（回転体）の体積を求めるときは、次のような発想をします。

💡 積分のイメージ 立体を包丁で $x$軸に垂直に薄くスライスすると、切り口はすべて「半径 $y$の円（円盤）」になります。 この円盤の面積 $\pi y^2$を、スタートからゴールまで（$a$から $b$まで）ずらーっと足し合わせる（積分する）ことで体積が求まります！

2. 回転体の体積の基本公式一覧

① xx 軸まわりの回転体

曲線 $y = f(x)$と $x$軸、および直線 $x = a, x = b$で囲まれた図形を $x$ 軸まわりに1回転させてできる立体の体積 $V$は、

$$V = \pi \int_{a}^{b} y^2 dx = \pi \int_{a}^{b} \{f(x)\}^2 dx$$

② yy 軸まわりの回転体

同様に、曲線 $y = f(x)$（または $x = g(y)$）と $y$軸、および直線 $y = c, y = d$で囲まれた図形を $y$軸まわりに1回転させてできる立体の体積 $V$は、

$$V = \pi \int_{c}^{d} x^2 dy$$

⚠️ 注意すべきポイント

• 公式の前に π（パイ）が必ず付くことを忘れないでください（円の面積 $\pi r^2$の $\pi$です）。
• $x$軸まわりなら $y^2$を $x$で積分し、$y$軸まわりなら $x^2$を $y$で積分します。

3. 実戦演習：回転体の体積を計算してみよう

【問題】

直線 $y = x$ と $x$ 軸、および直線 $x = 2$で囲まれた図形を $x$軸まわりに1回転させてできる円錐の体積 $V$を求めよ。（※おなじみの図形で公式の確認）

【解説・解答}

1. 公式に当てはめる $f(x) = x$なので、$y^2 = x^2$ となります。積分区間は $0$ から $2$ です。
2. 定積分を計算する$$V = \pi \int_{0}^{2} x^2 dx$$$$= \pi \left[ \frac{1}{3}x^3 \right]_{0}^{2}$$$$= \pi \left( \frac{8}{3} – 0 \right) = \mathbf{\frac{8}{3}\pi}$$（※円錐の公式 $\frac{1}{3} \times \text{底面積} \times \text{高さ} = \frac{1}{3} \times (\pi \times 2^2) \times 2 = \frac{8}{3}\pi$ と一致して検算できます！）

4. まとめ：回転体攻略の鉄則

1. 回転体の体積は「円盤の面積（$\pi \times \text{半径}^2$）」を積分する。
2. $x$軸まわりなら $y^2$を、$y$ 軸まわりなら $x^2$ を積分する変数に合わせる。
3. 計算の最後に π を掛け忘れるミスに最大限注意する。

ここがクリアできたら、次は回転軸が $x$軸ではなく「別の直線（例：$y = 1$ など）」の場合や、くり抜きがある立体を効率よく解く「円柱殻法（バームクーヘン積分）」へと進みましょう！

💡 数学Ⅲの基礎をさらに固めたい方へ

「学校の授業だけだと少し不安…」「独学でスムーズに数Ⅲを進めたい」という方は

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