第2章で「微分法」をマスターし、いよいよ数学Ⅲのもう一つの巨大な柱である「積分法（Integration）」に突入します！
積分は一言でいうと「微分の逆算（反微分）」です。「何を微分したらこの形になるか？」を逆からパズル感覚で考えることが積分の出発点になります。
この記事では、数学Ⅲで必須となる基本関数の積分公式一覧と、計算ミスを減らすための基礎的な考え方をわかりやすく解説します！
1. 不定積分とは？（微分の逆算という考え方）
関数 $f(x)$ に対して、その導関数が $f(x)$ になるような関数 $F(x)$ （つまり $F'(x) = f(x)$）を、$f(x)$ の原始関数（せんしかんすう）といいます。
定数を微分すると $0$ になるため、原始関数には任意の定数 $C$（積分定数）が必ず付くことになります。
$$\int f(x) dx = F(x) + C \quad (\text{ただし } F'(x) = f(x))$$
2. 【保存版】数学Ⅲの基本積分公式一覧
数学Ⅱまでに習った多項式の積分に加え、数学Ⅲでは三角関数・指数関数・分数関数の積分公式が一気に増えます。すべて微分公式の逆として確実に覚えましょう！
| 関数 f(x) | 不定積分 ∫f(x)dx | 備考・注意点 |
| $x^n$ | $\frac{1}{n+1}x^{n+1} + C$ | ($n \neq -1$) 指数を1増やして、その逆数で割る |
| $\frac{1}{x}$ | $\ln \vert{}x\vert{} + C$ | $x \neq 0$ （絶対値記号を忘れない！） |
| $e^x$ | $e^x + C$ | 微分しても積分してもそのまま！ |
| $a^x$ | $\frac{a^x}{\ln a} + C$ | ($a > 0, a \neq 1$) |
| $\sin x$ | $-\cos x + C$ | **「積分すると $\cos$ にマイナスがつく」**ことに注意！ |
| $\cos x$ | $\sin x + C$ | |
| $\frac{1}{\cos^2 x} \ ( = 1 + \tan^2 x)$ | $\tan x + C$ | $\tan x$ の微分を逆からみる |
⚠️ 符号のミスのを防ぐコツ
微分のときは「$\cos$ を微分するとマイナス」でしたが、積分のときは「$\sin$ を積分するとマイナス（$-\cos x$）」になります。ごちゃ混ぜになりやすいので、必ず「微分と積分は逆の矢印」であることを頭の中で確認しましょう！
3. 定積分の基本と計算のルール
不定積分に上下の区間 $a, b$ を指定したものが定積分です。
$$\int_{a}^{b} f(x) dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b) – F(a)$$
定積分の強力な計算プロパティ
- 線形性: 足し算・引き算や定数倍は、それぞれバラバラに積分してまとめてもOKです。
- 上下の入れ替え: $\int_{b}^{a} f(x) dx = – \int_{a}^{b} f(x) dx$ （上端と下端をひっくり返すと符号がマイナスになります）
- 区間の分割: $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{c} f(x) dx + \int_{c}^{b} f(x) dx$
4. まとめ：積分マスターへの第一歩
- 積分は「微分の逆算（反微分）」。公式を覚えるときは必ず「これを微分したら元に戻るか？」を検算する癖をつける。
- 分数の積分 $\int \frac{1}{x} dx = \ln \vert{}x\vert{} + C$ や、三角関数のマイナスの位置に十分注意する。
- 積分定数 $C$ を不定積分の最後に書き忘れないようにする。
ここがクリアできたら、次は積分計算の最大のヤマ場である「置換積分法（せきちかんせきぶんほう）」へと進みましょう！
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