置換積分法と並び、数学Ⅲの積分計算で超頻出かつ強力な計算手法が「部分積分法（ぶぶんせきぶんほう）」です。
2つの異なる種類の関数（例：ポロノミアル/多項式 × 三角関数、多項式 × 指数関数など）が掛け合わされた式を見たとき、この部分積分法が威力を発揮します。
この記事では、部分積分法の公式の成り立ちから、一瞬で計算手順が身につく合言葉、そして計算スピードを劇的に上げるテクニックまでわかりやすく解説します！
1. 部分積分法とは？（積の微分公式の逆算）
第2章で学んだ積の微分公式 $(uv)’ = u’v + uv’$ の両辺を積分して移形することで、次の部分積分公式が導かれます。
公式
$$\int f(x)g'(x) dx = f(x)g(x) – \int f'(x)g(x) dx$$
🧠 一瞬で解くための合言葉（呪文）
式だけ見ると複雑に見えますが、次のリズムで覚えるのが一番確実です！
「そのまま・積分 ➖ インテグラル 微分・積分」
2. どっちを「微分側」「積分側」にするかの判断基準
部分積分の成功の秘訣は、2つの関数のうち「どちらを $f(x)$（微分する側）にし、どちらを $g'(x)$（積分する側）にするか」を正しく選ぶことです。
基本ルールは「微分して消える（次数が下がる）関数を微分側に、積分しやすい関数を積分側にする」です。
優先順位ガイド（LIATEの法則）
微分側（$f(x)$）に設定すべき順序：
- 対数関数（$\ln x$） $\to$ 微分すると $\frac{1}{x}$ になり、多項式と約分しやすくなるため最優先で微分側！
- 多項式関数（$x, x^2$ 等） $\to$ 微分すると次数が下がって単純化する。
- 三角関数（$\sin x, \cos x$）
- 指数関数（$e^x$） $\to$ 微分しても積分しても形が変わらないため、最も積分側に回りやすい。
3. 実戦演習：定番問題の計算手順
【問題】
次の不定積分を計算せよ。
$$\int x e^x dx$$
【解説・解答】
- 微分側 $f(x) = x$ （微分すると $1$ になって消える）
- 積分側 $g'(x) = e^x$ （積分すると $g(x) = e^x$）
公式「そのまま・積分 ➖ インテグラル 微分・積分」に当てはめます。
$$\int x e^x dx = x e^x – \int (x)’ e^x dx$$
$$= x e^x – \int 1 \cdot e^x dx$$
$$= x e^x – e^x + C = \mathbf{(x – 1)e^x + C}$$
4. 定積分の部分積分法
定積分で部分積分を行う場合は、代入する区間 $[ \ \ ]_a^b$ を途中の「そのまま・積分」のブロックにも忘れずに適用します。
$$\int_{a}^{b} f(x)g'(x) dx = \left[ f(x)g(x) \right]_{a}^{b} – \int_{a}^{b} f'(x)g(x) dx$$
5. まとめ：部分積分攻略の鉄則
- 合言葉「そのまま・積分 ➖ インテグラル 微分・積分」を唱えて式を作る。
- 「対数・多項式」は微分側に、「三角・指数」は積分側に割り振る。
- $\int \ln x dx$ のように一見単項式に見える問題は、「$1 \cdot \ln x$」とみなして部分積分を使う（※超定番！）。
ここがクリアできたら、次は特別な形をした積分計算のテクニックである「三角関数の高次積分・有理関数の積分（部分分数分解）」へと進みましょう！
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