三角関数の最重要公式群が加法定理です。まる暗記に頼らず、加法定理から2倍角・半角の公式を自分で導けるようにすることがマスターへの近道です。
1. 加法定理の公式と語呂合わせ
$$\begin{aligned} \sin(\alpha + \beta) &= \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta \quad \text{（咲いたコスモス コスモス咲いた）} \\ \sin(\alpha – \beta) &= \sin\alpha \cos\beta – \cos\alpha \sin\beta \\ \cos(\alpha + \beta) &= \cos\alpha \cos\beta – \sin\alpha \sin\beta \quad \text{（コスモスコスモス 咲いた咲いた）} \\ \cos(\alpha – \beta) &= \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta \\ \tan(\alpha + \beta) &= \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 – \tan\alpha \tan\beta} \quad \text{（いちまいなすタンタン ぶんの タンぷらすタン）} \end{aligned}$$
※ $\cos$ の展開式は符号が逆転することに注意してください。
2. 2倍角の公式（$\beta = \alpha$ と置く）
加法定理の $\beta$ に $\alpha$ を代入すると自力で導けます。
$$\sin 2\theta = 2 \sin\theta \cos\theta$$
$$\begin{aligned} \cos 2\theta &= \cos^2\theta – \sin^2\theta \\ &= 2\cos^2\theta – 1 \quad (\sin^2\theta = 1 – \cos^2\theta \text{ を代入}) \\ &= 1 – 2\sin^2\theta \quad (\cos^2\theta = 1 – \sin^2\theta \text{ を代入}) \end{aligned}$$
3. 半角の公式（次数を下げる公式）
$\cos 2\theta$ の公式を変形することで導かれます。「2乗を外して次数を1次に下げる」 目的で非常によく使います。
$$\sin^2 \frac{\theta}{2} = \frac{1 – \cos\theta}{2}$$
$$\cos^2 \frac{\theta}{2} = \frac{1 + \cos\theta}{2}$$
4. まとめ
- 加法定理の語呂合わせを完璧にする。
- 2倍角・半角の公式は加法定理からその場で導出できるように練習しておく。
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