【数学Ⅱ】5-1: 0乗・負の数・分数の指数とは？累乗根と指数法則のまとめ

数学Ⅰでは「$a^n$」の指数 $n$ は正の整数（自然数）でした。数学Ⅱでは指数を $0$、負の整数、有理数（分数）、さらには実数全体 へと拡張します。

1. 整数への指数の拡張

指数法則を拡張してもそのまま成り立たせるために、次のように定義します。

$$a^0 = 1 \quad (a \neq 0)$$

$$a^{-n} = \frac{1}{a^n} \quad (a \neq 0, \, n \text{ は正の整数})$$

考え方のコツ

• 0乗は常に $1$ （例: $5^0 = 1, \; (-3)^0 = 1$）
• 負の指数は「逆数」 （例: $2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$）

2. 累乗根と有理数（分数）への指数の拡張

2乗すると $a$ になる数を平方根、3乗すると $a$ になる数を3乗根…と呼び、これらをまとめて累乗根（$\sqrt[n]{a}$）といいます。

これを指数の形で表すルールが以下です。

$$a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a} \quad (a > 0)$$

$$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m \quad (a > 0)$$

相互変換のイメージ

「分母がルートの次数（お部屋の外）、分子が乗数（お部屋の中）」と覚えましょう。

（例: $a^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{a^2}$）

3. 指数法則のまとめ

指数が有理数や実数に拡張されても、以下の指数法則がそのまま使えます（ただし底 $a > 0, b > 0$）。

1. $a^p \times a^q = a^{p+q}$
2. $a^p \div a^q = a^{p-q}$
3. $(a^p)^q = a^{pq}$
4. $(ab)^p = a^p b^p$

4. まとめ

1. $a^0 = 1$、$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$（負の数は逆数）。
2. 分数指数 $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$。
3. 底が同じ掛け算は指数の足し算、割り算は指数の引き算。

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