「指数」の逆の視点として導入されるのが対数（log：ログ）です。定義と基本公式をマスターして計算力を鍛えましょう。
1. 対数の定義
$$a^p = M \quad \iff \quad p = \log_a M$$
- $a$：底（てい）
- $M$：真数（しんすう）
「$a$ を何乗したら $M$ になるか？」という問いの答えが $\log_a M$ です。
（例: $2^3 = 8 \iff \log_2 8 = 3$）
条件ルール
- 底の条件：$a > 0, \, a \neq 1$
- 真数条件：$M > 0$ （真数は必ず正の数！）
2. 対数の基本性質（性質公式）
底 $a > 0, a \neq 1$ かつ $M > 0, N > 0$ のとき：
- $\log_a 1 = 0$, $\log_a a = 1$
- 和は積：$\log_a M + \log_a N = \log_a (MN)$
- 差は商：$\log_a M – \log_a N = \log_a \frac{M}{N}$
- 肩の数は前に出る：$\log_a M^k = k \log_a M$
3. 底の変換公式
底を自由に別の数 $c$ に変更するための超重要公式です。
$$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$$
覚え方のイメージ
元の底 $a$ が分母の真数になり、元の真数 $b$ が分子の真数になります。
例題
$\log_8 16$ の値を求めよ。
【解答】
底を $2$ に変換します。
$\log_8 16 = \frac{\log_2 16}{\log_2 8} = \frac{4}{3}$
4. まとめ
- $\log_a M$ は「$a$ を何乗したら $M$ になるか」。
- 対数の足し算は真数の掛け算、引き算は真数の割り算。
- 底を変えたいときは底の変換公式を使う。
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