【数学Ⅱ】1-5: 不等式の証明完全攻略！相加平均・相乗平均の大小関係を使いこなすコツ

高校数学Ⅱの「式と証明」分野で、多くの受験生が最初につまずくのが「不等式の証明」、そしてそこで登場する「相加平均・相乗平均の大小関係」です。

この記事では、不等式の証明の基本パターンから相加・相乗平均の見極め方まで解説します。

この記事では、不等式の証明の基本パターンから相加・相乗平均の見極め方まで解説します。

1. 不等式証明の基本原則：$A \geqq B \iff A – B \geqq 0$

実数の範囲で不等式 $A \geqq B$ を証明するときの基本方針は、引き算をして $A – B \geqq 0$ を示すことです。

例題1

不等式 $a^2 + b^2 \geqq 2ab$ を証明せよ。また、等号が成立するのはどのようなときか。

【解答例】

（左辺）$-$（右辺）を計算すると、

$$a^2 + b^2 – 2ab = (a – b)^2$$

実数の2乗は常に0以上であるから、$(a – b)^2 \geqq 0$。

したがって、$a^2 + b^2 \geqq 2ab$ が成り立つ。

等号が成立するのは、$a – b = 0$ すなわち $a = b$ のときである。$\quad\blacksquare$

2. 相加平均・相乗平均の大小関係とは？

公式

$a > 0$ かつ $b > 0$ のとき、

$$a + b \geqq 2\sqrt{ab}$$

が成り立つ。等号が成立するのは $a = b$ のときに限る。

3. 使用時の3つの約束

1. 前提条件「$a > 0, b > 0$」を明記する
2. 「かけると文字が消える（逆数の関係）」場面で発動する
3. 最後に必ず「等号成立条件（$a=b$）」を確認・記述する

4. 実践問題

問題

$a > 0$ のとき、不等式 $a + \frac{4}{a} \geqq 4$ を証明せよ。また、等号が成立するのはどのようなときか。

【解答例】

$a > 0$ であるから、$\frac{4}{a} > 0$ である。

相加平均と相乗平均の大小関係により、

$$a + \frac{4}{a} \geqq 2\sqrt{a \cdot \frac{4}{a}} = 2\sqrt{4} = 4$$

したがって、$a + \frac{4}{a} \geqq 4$ が成り立つ。

等号が成立するのは $a = \frac{4}{a}$ のときである。

両辺に $a$ をかけると $a^2 = 4$ となり、$a > 0$ より $a = 2$ のとき等号が成立する。$\quad\blacksquare$

5. まとめ

1. 掛け合わせると文字が消える和の形を見たら相加・相乗平均を考慮する
2. 冒頭に「$a > 0, b > 0$」の前提条件を記述する
3. 等号成立条件（$a = b$）を算出して締めくくる

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