三角関数の章の締めくくりとして、試験で頻出する「方程式」「不等式」「最大・最小」のパターン別対策を解説します。
1. 三角方程式・不等式の解き方
単位円を利用して解くのが最も確実です。
基本手順
- 式を $\sin\theta = k, \; \cos\theta = k, \; \tan\theta = k$ の形に整理する。
- 単位円を描き、直線 $y = k$（$\sin$ の場合）や $x = k$（$\cos$ の場合）との交点を打つ。
- 指定された $\theta$ の範囲（例: $0 \leqq \theta < 2\pi$）内で動径の角を読み取る。
2. 置換を利用する最大・最小問題
パターンA：$\sin\theta$ や $\cos\theta$ の2次式
- 手順：$\sin\theta = t$ や $\cos\theta = t$ と置換し、$t$ の2次関数に帰着させる。
- ⚠️ 超重要注意点：置換した文字 $t$ の変域 $-1 \leqq t \leqq 1$ を必ず明記して考える！
パターンB：$\sin\theta + \cos\theta = t$ と置く形
- 両辺を2乗すると $t^2 = 1 + 2\sin\theta\cos\theta$ となり、$\sin\theta\cos\theta = \frac{t^2 – 1}{2}$ と表せる。
- 合成により $t = \sqrt{2}\sin\left\theta + \frac{\pi}{4}\right$ となるため、$t$ の範囲は $-\sqrt{2} \leqq t \leqq \sqrt{2}$ になることに注意する。
3. 合成を利用する最大・最小問題
$y = a\sin\theta + b\cos\theta$ の形を見たら、まず合成を行って $y = r\sin(\theta + \alpha)$ の形にします。
- $\sin$ 全体が $-1$ から $1$ まで動く範囲であれば、最大値は $r$、最小値は $-r$ となります。
4. まとめ
- 方程式・不等式は単位円を描いて解く。
- 文字を置換したら置換した文字の範囲（変域）を絶対に確認する。
- $\sin$ と $\cos$ の1次和は合成して1つにまとめる。
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