【数学Ⅱ】4-4: $a\sin\theta + b\cos\theta$ を1つにまとめる！三角関数合成のやり方と図解

$\sin$ と $\cos$ が足し合わされた式を、1つの $\sin$（または $\cos$）の式に統合するテクニックが三角関数の合成です。

1. 合成の公式

$$a\sin\theta + b\cos\theta = \sqrt{a^2 + b^2} \sin(\theta + \alpha)$$

ただし、角 $\alpha$ は以下を満たす角です。

$$\cos\alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}, \quad \sin\alpha = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$

2. 合成の具体的な手順（ステップ解説）

式 $\sqrt{3}\sin\theta + \cos\theta$ を合成する場合：

1. 座標平面上に点 $\text{P}(a, b)$ をとる：$\sin$ の係数を $x$ 座標、$\cos$ の係数を $y$ 座標として $\text{P}(\sqrt{3}, 1)$ を打つ。
2. 原点からの距離（斜辺）を計算する：$r = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{4} = 2$。
3. $x$ 軸の正の向きとなす角 $\alpha$ を求める：直角三角形の比から $\alpha = \frac{\pi}{6}$（$30^\circ$）。
4. あてはめて変形する：$2\sin\left(\theta + \frac{\pi}{6}\right)$。

3. まとめ

• $\sin$ の係数を $x$ 座標、$\cos$ の係数を $y$ 座標にとり、点 $\text{P}(a, b)$ の長さと角を求める。

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