底が $10$ である対数を常用対数（$\log_{10} N$）と呼びます。巨大な数字が「何桁か」「一番上の位の数字は何か」を求める問題で大活躍します。
1. 常用対数とは？
人間が10進数を使っているため、底を $10$ にした対数が非常に扱いやすく常用されます。
- $\log_{10} 10 = 1$
- $\log_{10} 100 = \log_{10} 10^2 = 2$
- $\log_{10} 1000 = \log_{10} 10^3 = 3$
一般に、$N$ の常用対数の値が $n \leqq \log_{10} N < n+1$ の範囲にあれば、$10^n \leqq N < 10^{n+1}$ となり、$N$ は $n+1$ 桁の数 であることがわかります。
2. 「桁数」を求める解法手順
例題
$2^{50}$ は何桁の数か。ただし $\log_{10} 2 = 0.3010$ とする。
【解答】
$N = 2^{50}$ と置き、常用対数をとります。
$$\log_{10} 2^{50} = 50 \times \log_{10} 2 = 50 \times 0.3010 = 15.05$$
したがって、
$$15 < \log_{10} 2^{50} < 16 \iff 10^{15} < 2^{50} < 10^{16}$$
よって、$2^{50}$ は $16$ 桁の数 です。
3. 「最高位の数字（一番上の桁）」を求める方法
計算した常用対数の小数部分（上の例では $0.05$）に着目します。
小数部分を $\log_{10} 1, \log_{10} 2, \log_{10} 3 \dots$ の値と比較して挟み込みます。
- $\log_{10} 1 = 0$
- $\log_{10} 2 = 0.3010$
$0$（$\log_{10} 1$）$\leqq 0.05 < 0.3010$（$\log_{10} 2$）より、最高位の数字は $1$ であると特定できます。
4. まとめ
- 桁数問題は常用対数 $\log_{10} N$ を計算する。
- 整数部分が $n$ なら、桁数は $n+1$ 桁。
- 最高位の数字は小数部分の評価（比較）で決まる。
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