【数学Ⅱ】6-1: 平均変化率から極限（limit）へ！導関数の計算公式と微分の基礎

数学Ⅱの大きな山場である「微分法」の始まりです。微分と聞くと難しそうに感じられますが、本質は「曲線の上の1点における接線の傾きを求める技術」です。平均変化率から導関数の定義、そして高速計算のための公式までを詳しく解説します。

1. 平均変化率（2点を結ぶ直線の傾き）

関数 $y = f(x)$ において、$x$ が $a$ から $b$ まで変化するときの平均変化率は、変化の割合（2点を通る直線の傾き）を表します。

$$\text{平均変化率} = \frac{f(b) – f(a)}{b – a} = \frac{\Delta y}{\Delta x}$$

2. 微分係数（接線の傾き）

平均変化率における $b$ を $a$ に極限まで近づけた（$b \to a$、または変化量 $h \to 0$ とした）ときの値が、点 $x = a$ における微分係数 $f'(a)$ です。

$$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) – f(a)}{h}$$

図形的には、「曲線 $y = f(x)$ 上の点 $(a, f(a))$ における接線の傾き」 を意味します。

3. 導関数と計算の公式

任意の $x$ に対して微分係数を対応させる関数を導関数 $f'(x)$ といい、これを求める操作を「微分する」といいます。

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) – f(x)}{h}$$

多項式関数の微分の公式

導関数の定義に基づいて計算すると、次の非常に便利な公式が得られます。

$$(x^n)’ = n x^{n-1} \quad (\text{肩の数字を前に出して、肩を1減らす})$$

• 定数の微分：$(c)’ = 0$
• 実数倍・和・差：$\{k f(x) + g(x)\}’ = k f'(x) + g'(x)$

例題

$f(x) = 2x^3 – 5x^2 + 3x – 4$ を微分せよ。

【解答】

$f'(x) = 2 \cdot (3x^2) – 5 \cdot (2x) + 3 \cdot 1 – 0 = 6x^2 – 10x + 3$

4. まとめ

1. 微分係数 $f'(a)$ は接線の傾きを表す。
2. 計算は公式 $(x^n)’ = n x^{n-1}$ を使えば一瞬で終わる。

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