不定積分では答えに文字 $C$ が残りましたが、積分を行う区間を決めて計算結果を「具体的に1つの数値」として算出する操作が定積分（ていせきぶん）です。
1. 定積分の定義と計算手順
関数 $f(x)$ の原始関数の1つを $F(x)$ とするとき、区間 $[a, b]$ における定積分は次のように定義されます。
$$\int_{a}^{b} f(x) \, dx = \left[ F(x) \right]_{a}^{b} = F(b) – F(a)$$
- $a$：下端（かたん）
- $b$：上端（じょうたん）
計算のステップ
- カッコ $\left[ \quad \right]$ の中に不定積分を入れる（この際、$+C$ は引き算で消えるため省略する）。
- 上の数字（上端 $b$）を代入した値から、下の数字（下端 $a$）を代入した値を引き算する。
例題
定積分 $\int_{1}^{3} (3x^2 – 2x) \, dx$ を計算せよ。
【解答】
$$\int_{1}^{3} (3x^2 – 2x) \, dx = \left[ x^3 – x^2 \right]_{1}^{3}$$
上端 $3$ を代入： $3^3 – 3^2 = 27 – 9 = 18$
下端 $1$ を代入： $1^3 – 1^2 = 1 – 1 = 0$
上端 $-$ 下端： $18 – 0 = 18$
2. 定積分の重要な性質
定積分には計算を劇的に楽にするための性質があります。
① 上端と下端に関する性質
- 上端と下端が同じ： $\int_{a}^{a} f(x) \, dx = 0$
- 上端と下端を入れ替えるとマイナスがつく： $\int_{b}^{a} f(x) \, dx = -\int_{a}^{b} f(x) \, dx$
② 区間の結合（最もよく使う性質）
同じ関数を積分するとき、中間の点 $c$ を挟んで区間を合体させることができます。
$$\int_{a}^{c} f(x) \, dx + \int_{c}^{b} f(x) \, dx = \int_{a}^{b} f(x) \, dx$$
3. 実践テクニック：定積分と等式（微分との関係）
定積分を含む方程式・等式に関する頻出パターンです。
パターンA：上端が文字 $x$ の定積分
$$\frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(t) \, dt = f(x)$$
定積分を $x$ で微分すると、中の関数 $f(t)$ の文字が $t \to x$ に変わってそのまま飛び出てくるという強力な性質です。
4. まとめ
- 定積分は $\left[ F(x) \right]_a^b = F(b) – F(a)$ （上端代入 $-$ 下端代入）。
- 計算結果は必ず「数値」になる（$C$ は書かない）。
- 区間が繋がっている足し算は $\int_a^c + \int_c^b = \int_a^b$ でまとめる。
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