定積分の最大の応用が「平面図形の面積」を求めることです。「上マイナス下」の立式原則から、受験数学で必須となる裏技テクニック「$\frac{1}{6}$（6分の1）公式」までを徹底解説します。
1. 定積分と面積の基本原則：「上マイナス下」
曲線や直線で囲まれた部分の面積 $S$ は、常に「上の式から下の式を引いたもの」を交点から交点まで定積分することで求められます。
区間 $[a, b]$ で $f(x) \geqq g(x)$ のとき
$$S = \int_{a}^{b} \left\{ f(x) – g(x) \right\} \, dx$$
- 上のグラフの式：$f(x)$
- 下のグラフの式：$g(x)$
$x$ 軸（$y = 0$）とで囲まれた面積
- グラフが $x$ 軸より上側（$f(x) \geqq 0$）にあるとき： $S = \int_{a}^{b} f(x) \, dx$
- グラフが $x$ 軸より下側（$f(x) \leqq 0$）にあるとき： 積分の値がマイナスになるため、符号を反転させて $S = \int_{a}^{b} \{-f(x)\} \, dx$
2. 面積計算の手順（3ステップ）
- グラフの概形を描き、交点の $x$ 座標（$\alpha, \beta$）を求める（連立方程式を解く）。
- 上下関係を確認し、「（上の式）$-$（下の式）」で立式する。
- 定積分を実行する。
3. 【裏技・必殺技】$\frac{1}{6}$（6分の1）公式
放物線と直線（または2つの放物線）で囲まれた部分の面積を求める際、超高速かつ正確に計算できるのが$\frac{1}{6}$ 公式です。
公式
放物線 $y = ax^2 + bx + c$ と直線が $x = \alpha, \beta \; (\alpha < \beta)$ で交わるとき、囲まれた面積 $S$ は：
$$S = \frac{\vert{}a\vert{}}{6}(\beta – \alpha)^3$$
※ $\vert{}a\vert{}$ は $x^2$ の係数の絶対値、$\beta – \alpha$ は交点の $x$ 座標の差（右交点 $-$ 左交点）です。
4. 実践問題（$\frac{1}{6}$ 公式の威力を体験）
問題
放物線 $y = x^2 – 3x$ と直線 $y = x$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。
【解答例】
① 交点の $x$ 座標を求める：
$$x^2 – 3x = x \implies x^2 – 4x = 0 \implies x(x – 4) = 0$$
よって、交点は $x = 0, 4$ （$\alpha = 0, \beta = 4$）。
② 立式する（$0 \leqq x \leqq 4$ において直線の方が上）：
$$S = \int_{0}^{4} \left\{ x – (x^2 – 3x) \right\} \, dx = \int_{0}^{4} -(x^2 – 4x) \, dx$$
③ $\frac{1}{6}$ 公式を適用する：
$x^2$ の係数は $-1$ なので、$\vert{}a\vert{} = 1$。
$$S = \frac{1}{6} (4 – 0)^3 = \frac{64}{6} = \frac{32}{3}$$
通常であれば「積分の計算 $\to$ 4の代入」と手間がかかる計算が、一瞬で終わります！
5. まとめ
- 面積の立式は常に $\int (\text{上の式} – \text{下の式}) \, dx$。
- 放物線と直線の囲む面積は $S = \frac{\vert{}a\vert{}}{6}(\beta – \alpha)^3$ で瞬殺する。
- 符号ミス・代入ミスを防ぐために簡単な図（グラフの上下関係）を必ず描く。
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