基本4パターン（等差・等比・階差・特性方程式）をマスターした人が次にぶつかる壁が、工夫して式を変形する「応用パターン」です。
一見すると複雑で手が出なさそうに見えますが、どのパターンも適切な「置き換え」や「式変形」を行うことで、最終的にはすべて基本パターン（特性方程式型や等比型）に帰着できます！
この記事では、応用4パターンの見極め方と解き方を分かりやすく解説します！
1. 応用4パターンの変形マップ
まずは、どのような変形を行って基本形に持ち込むのか、全体像（変形マップ）を整理しておきましょう！
$$\begin{array}{\|c\|l\|l\|} \hline \text{パターン} & \text{漸化式の形} & \text{変形のアプローチ（基本形への持ち込み方）} \\ \hline \text{① } f(n) \text{ 加算型} & a_{n+1} = p a_n + f(n) & p^n \text{ や同型で割って、特性方程式型・階差型へ} \\ \hline \text{② 分数型} & a_{n+1} = \frac{p a_n}{r a_n + q} & \text{両辺の逆数をとって、} b_n = \frac{1}{a_n} \text{ とおいて特性方程式型へ} \\ \hline \text{③ 指数型} & a_{n+1} = p a_n^r & \text{両辺の対数をとって、} b_n = \log a_n \text{ とおいて特性方程式型へ} \\ \hline \text{④ 隣接3項間} & a_{n+2} + p a_{n+1} + q a_n = 0 & \text{2次方程式 } x^2 + px + q = 0 \text{ の解を使って等比型へ} \\ \hline \end{array}$$
どのパターンも「置き換えることで知っている形にする」という目的は共通しています。
2. パターン別！変形手順と例題解説
それぞれのパターンの具体例と計算手順を詳しく見ていきましょう。
パターン①：$a_{n+1} = p a_n + f(n)$ 型（$f(n)$ が $p^n$ や一次式）
$a_{n+1} = p a_n + q \cdot r^n$ のように、末尾に指数の式がついているタイプです。
- 変形テクニック： 両辺を $r^{n+1}$ で割る！
【例題】
$a_1 = 1, \quad a_{n+1} = 2a_n + 3^{n+1}$
【解答】
両辺を $3^{n+1}$ で割ると、
$$\frac{a_{n+1}}{3^{n+1}} = \frac{2a_n}{3^{n+1}} + 1$$
$$\frac{a_{n+1}}{3^{n+1}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{a_n}{3^n} + 1$$
ここで、$b_n = \frac{a_n}{3^n}$ とおくと、
- $b_1 = \frac{a_1}{3^1} = \frac{1}{3}$
- $b_{n+1} = \frac{2}{3}b_n + 1$ （特性方程式型に変身！）
特性方程式 $\alpha = \frac{2}{3}\alpha + 1$ を解くと $\alpha = 3$。
$$b_{n+1} – 3 = \frac{2}{3}(b_n – 3)$$
数列 $\{b_n – 3\}$ は初項 $b_1 – 3 = \frac{1}{3} – 3 = -\frac{8}{3}$、公比 $\frac{2}{3}$ の等比数列である。
$$b_n – 3 = -\frac{8}{3} \left( \frac{2}{3} \right)^{n-1}$$
$$b_n = 3 – 4 \left( \frac{2}{3} \right)^n$$
$b_n = \frac{a_n}{3^n}$ より、両辺に $3^n$ を掛けて、
$$\mathbf{a_n = 3 \cdot 3^n – 4 \cdot 2^n = 3^{n+1} – 2^{n+2}}$$
パターン②：分数型（$a_{n+1} = \frac{p a_n}{r a_n + q}$）
分母に $a_n$ が入っている分数型の漸化式です。
- 変形テクニック： 両辺の逆数をとる！
【例題】
$a_1 = 1, \quad a_{n+1} = \frac{a_n}{2a_n + 3}$
【解答】
すべての自然数 $n$ について $a_n \neq 0$ であるから、両辺の逆数をとると、
$$\frac{1}{a_{n+1}} = \frac{2a_n + 3}{a_n} = 2 + 3 \cdot \frac{1}{a_n}$$
$$\frac{1}{a_{n+1}} = 3 \cdot \frac{1}{a_n} + 2$$
ここで、$b_n = \frac{1}{a_n}$ とおくと、
- $b_1 = \frac{1}{a_1} = 1$
- $b_{n+1} = 3b_n + 2$ （特性方程式型に変身！）
特性方程式 $\alpha = 3\alpha + 2$ を解くと $\alpha = -1$。
$$b_{n+1} + 1 = 3(b_n + 1)$$
数列 $\{b_n + 1\}$ は初項 $b_1 + 1 = 2$、公比 $3$ の等比数列である。
$$b_n + 1 = 2 \cdot 3^{n-1} \quad \Longrightarrow \quad b_n = 2 \cdot 3^{n-1} – 1$$
$a_n = \frac{1}{b_n}$ より、逆数をとって、
$$\mathbf{a_n = \frac{1}{2 \cdot 3^{n-1} – 1}}$$
パターン③：指数型（$a_{n+1} = p a_n^r$）
$a_n$ が累乗（肩に数乗がついている）になっているタイプです。
- 変形テクニック： 両辺の対数をとる！
【例題】
$a_1 = 2, \quad a_{n+1} = 2 a_n^2$ （ただし $a_n > 0$）
【解答】
$a_n > 0$ であるから、底を $2$ とする対数をとると、
$$\log_2 a_{n+1} = \log_2 (2 a_n^2)$$
$$\log_2 a_{n+1} = \log_2 2 + \log_2 a_n^2$$
$$\log_2 a_{n+1} = 2 \log_2 a_n + 1$$
ここで、$b_n = \log_2 a_n$ とおくと、
- $b_1 = \log_2 a_1 = \log_2 2 = 1$
- $b_{n+1} = 2b_n + 1$ （特性方程式型に変身！）
特性方程式 $\alpha = 2\alpha + 1$ を解くと $\alpha = -1$。
$$b_{n+1} + 1 = 2(b_n + 1)$$
数列 $\{b_n + 1\}$ は初項 $b_1 + 1 = 2$、公比 $2$ の等比数列である。
$$b_n + 1 = 2 \cdot 2^{n-1} = 2^n \quad \Longrightarrow \quad b_n = 2^n – 1$$
$b_n = \log_2 a_n$ より、
$$\mathbf{a_n = 2^{b_n} = 2^{2^n – 1}}$$
パターン④：隣接3項間漸化式（$a_{n+2} + p a_{n+1} + q a_n = 0$）
$a_{n+2}, a_{n+1}, a_n$ の3つの項が登場する漸化式です。
- 変形テクニック： 特性方程式 $x^2 + px + q = 0$ の解 $\alpha, \beta$ を用いて、次の等比型へ変形する！
- $a_{n+2} – \alpha a_{n+1} = \beta (a_{n+1} – \alpha a_n)$
- $a_{n+2} – \beta a_{n+1} = \alpha (a_{n+1} – \beta a_n)$
【例題】
$a_1 = 1, \ a_2 = 2, \quad a_{n+2} – 5a_{n+1} + 6a_n = 0$
【解答】
特性方程式 $x^2 – 5x + 6 = 0$ を解くと、$(x – 2)(x – 3) = 0$ より $x = 2, 3$。
よって、漸化式は次の2通りに変形できる。
$$\begin{cases} a_{n+2} – 2a_{n+1} = 3(a_{n+1} – 2a_n) & \cdots \text{①} \\ a_{n+2} – 3a_{n+1} = 2(a_{n+1} – 3a_n) & \cdots \text{②} \end{cases}$$
①より、数列 $\{a_{n+1} – 2a_n\}$ は初項 $a_2 – 2a_1 = 2 – 2(1) = 0$、公比 $3$ の等比数列だから、
$$a_{n+1} – 2a_n = 0 \quad \Longrightarrow \quad a_{n+1} = 2a_n \quad \cdots \text{①’}$$
②より、数列 $\{a_{n+1} – 3a_n\}$ は初項 $a_2 – 3a_1 = 2 – 3(1) = -1$、公比 $2$ の等比数列だから、
$$a_{n+1} – 3a_n = -1 \cdot 2^{n-1} \quad \cdots \text{②’}$$
②’ $-$ ①’ を行うと、$a_{n+1}$ が消去されて、
$$-a_n = -2^{n-1}$$
$$\mathbf{a_n = 2^{n-1}}$$
3. 応用問題を攻略するための3つのコツ
- 初手の手順を丸暗記する！「分数型なら逆数」「指数型なら対数」「指数加算型なら $p^n$ 割る」といった第一歩の変形パターンを暗記しておくことが最優先です。
- 置き換えた数列の初項 $b_1$ を慎重に計算する！置き換え（$b_n = \dots$）を行った際、$b_1$ の計算ミスで後半が全滅するケースが多発します。必ず手計算をダブルチェックしましょう。
- 記述問題での条件確認（$a_n \neq 0$ や $a_n > 0$）を忘れない！逆数をとるときは「$a_n \neq 0$」、対数をとるときは「真数条件 $a_n > 0$」の断り書きを入れないと減点対象になります。
4. まとめ
今回は「漸化式（応用・変形パターン）」について解説しました。
隣接3項間： 2次方程式の解から2通りの等比数列を作って引き算！
$a_{n+1} = p a_n + f(n)$ 型： 両辺を割って特性方程式型へ！
分数型： 逆数をとって置き換え！
指数型： 対数をとって置き換え！
どれだけ複雑に見える応用問題も、一皮むけば基本の「特性方程式型」や「等比型」にすぎません。自信を持って変形していきましょう！
次回は、数列の証明における最大の武器「【数学B】1-11: 数学の強力な武器！『数学的帰納法』の基本と証明手順を分かりやすく解説！」をお届けします！
コメント