数列や関数の極限を計算するとき、誰もが最初につまずくのが「不定形（ふていけい）」の扱いです。
そのまま $n \to \infty$ とすると「$\frac{\infty}{\infty}$」や「$\infty – \infty$」になってしまい、極限値が何になるのか分からなくなってしまう現象を指します。
この記事では、受験数学で頻出する不定形の代表パターンと、それを一瞬で解消するための変形テクニックをわかりやすく解説します！
1. なぜ「不定形」と呼ぶのか？
不定形とは、文字通り「その形のままでは極限値が定まらない（不定な）形」のことです。
例えば $\frac{\infty}{\infty}$ という形を見て「同じ無限大同士で割っているから $1$ になるのでは？」と考えるのはNGです。
- 分母の増え方が圧倒的に速ければ $\to 0$ に近づきます
- 分子の増え方が圧倒的に速ければ $\to \infty$ に発散します
- 増えるスピードが同じなら $\to 2$ や $3$ などの一定の値に収束します
つまり、式を変形して「確定形（確実に数値や発散が判明する形）」に書き直す作業が必要になります。
2. 確定形と不定形の違いまとめ
| タイプ | 具体的な形 | 極限の結果 |
| 確定形 | $\frac{\text{定数}}{\infty}$ | $0$ に収束 |
| 確定形 | $\frac{\infty}{\text{定数}}$ | $\pm\infty$ に発散 |
| 確定形 | $\infty + \infty$ | $\infty$ に発散 |
| 不定形 | $\frac{\infty}{\infty}$ | 式変形が必要（最高次の項で割る） |
| 不定形 | $\infty – \infty$ | 式変形が必要（最高次の項で括る／有理化） |
| 不定形 | $0 \times \infty$ | 式変形が必要（通分や約分など） |
3. 代表的な不定形の解消パターン3選
パターン①：$\frac{\infty}{\infty}$ 型（最高次の項で分母分子を割る）
多項式の分数式で最も基本的な形です。
【例題】
$$\lim_{n \to \infty} \frac{2n^2 – 3n + 1}{5n^2 + 4}$$
【解消テクニック】
分母の最高次の項（ここでは $n^2$）で、分母と分子のすべての項を割ります。
$$\lim_{n \to \infty} \frac{2 – \frac{3}{n} + \frac{1}{n^2}}{5 + \frac{4}{n^2}}$$
$n \to \infty$ のとき、$\frac{3}{n} \to 0$, $\frac{1}{n^2} \to 0$, $\frac{4}{n^2} \to 0$ となるため（確定形 $\frac{\text{定数}}{\infty}$ の利用）、
$$= \frac{2 – 0 + 0}{5 + 0} = \mathbf{\frac{2}{5}}$$
パターン②：$\infty – \infty$ 型（多項式：最高次の項で括る）
根号（ルート）が含まれない多項式同士の引き算のパターンです。
【例題】
$$\lim_{n \to \infty} (n^2 – 100n)$$
【解消テクニック】
最高次の項（ここでは $n^2$）で式全体を括り出し、「$\infty \times (\text{定数})$」の確定形を作ります。
$$\lim_{n \to \infty} n^2 \left(1 – \frac{100}{n}\right)$$
$n \to \infty$ のとき、$1 – \frac{100}{n} \to 1$ となり、$n^2 \to \infty$ なので、
$$\infty \times 1 = \mathbf{\infty \text{ （正の無限大に発散）}}$$
パターン③：$\infty – \infty$ 型（根号あり：分子の有理化）
ルートが含まれる引き算のパターンで、入試問題の定番です。
【例題】
$$\lim_{n \to \infty} \left(\sqrt{n^2 + 3n} – n\right)$$
【解消テクニック】
「$\frac{\text{与式}}{1}$」とみなして分子の有理化（和と差の積 $(a-b)(a+b) = a^2 – b^2$ の利用）を行い、パターン①の $\frac{\infty}{\infty}$ 型へと変換します。
- 分母と分子に $(\sqrt{n^2 + 3n} + n)$ を掛ける$$\lim_{n \to \infty} \frac{(\sqrt{n^2 + 3n} – n)(\sqrt{n^2 + 3n} + n)}{\sqrt{n^2 + 3n} + n}$$
- 分子を展開して整理する$$= \lim_{n \to \infty} \frac{(n^2 + 3n) – n^2}{\sqrt{n^2 + 3n} + n} = \lim_{n \to \infty} \frac{3n}{\sqrt{n^2 + 3n} + n}$$
- $\frac{\infty}{\infty}$ 型になったので、分母の最高次の項 $n$ で分母分子を割る$$= \lim_{n \to \infty} \frac{3}{\sqrt{1 + \frac{3}{n}} + 1} = \frac{3}{\sqrt{1 + 0} + 1} = \mathbf{\frac{3}{2}}$$
4. まとめ：不定形処理のポイント
不定形が出現したときは、あわてずに以下の変形手順を試しましょう！
- 分数の形なら $\to$ 分母の最高次の項で割る
- 多項式の引き算なら $\to$ 最高次の項で括る
- ルートの引き算なら $\to$ 分子の有理化を行って分数形にする
不定形の解消は、微積分の極限計算でも毎回使う重要スキルです。
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