3次以上の次数を持つ方程式を高次方程式と呼びます。
一見難しそうに見えますが、因数定理を使って次数を下げ（3次 $\rightarrow$ 2次）、最終的に2次方程式の解の公式に持ち込むのが基本パターンです。
この記事では、因数の見つけ方から計算を劇的に速くする「組み立て除法」の使い方まで伝授します！
1. 代入して 1. 代入して $0$ になる数字（$P(k)=0$ の $k$）の見つけ方
$ になる数字（$P(k)=0$ の $k$）の見つけ方
因数定理を使うには、$P(k) = 0$ となる $k$ を見つける必要があります。闇雲に代入するのではなく、次の候補から探すのが鉄則です。
$$k \text{ の候補} = \pm \frac{\text{定数項の約数}}{\text{最高次の係数の約数}}$$
特に、最高次の係数が $1$ の場合は、単に 「定数項の約数（$\pm 1, \pm 2, \pm 3 \dots$）」 を代入して試せばOKです！
2. 組み立て除法（計算の高速化）
多項式を $x – k$ で割るときの商を求める際、筆算よりもはるかに速く計算できるのが組み立て除法です。
例：$x^3 – 4x^2 + x + 6$ を $x – 2$ で割る場合
- 係数だけを並べる：
1 -4 1 6 - 左側に $k = 2$ を書く
- 最初の
1をそのまま下に降ろす - 「掛けて斜め上に書き、足して下に降ろす」を繰り返す
Plaintext
2 | 1 -4 1 6
| 2 -4 -6
------------------
1 -2 -3 | 0 ← 一番右が余り（0）
これにより、商が $x^2 – 2x – 3$ であることが一瞬で分かります！
3. 実践問題（3次方程式を解く）
問題
3次方程式 $x^3 – 4x^2 + x + 6 = 0$ を解け。
【解答例】
$P(x) = x^3 – 4x^2 + x + 6$ と置きます。
定数項 $6$ の約数である $x = -1$ を代入してみると、
$$P(-1) = (-1)^3 – 4(-1)^2 + (-1) + 6 = -1 – 4 – 1 + 6 = 0$$
よって、$P(x)$ は $(x + 1)$ を因数に持ちます。
組み立て除法を用いて $P(x)$ を $(x + 1)$ で割ります。
Plaintext
-1 | 1 -4 1 6
| -1 5 -6
------------------
1 -5 6 | 0
したがって、商は $x^2 – 5x + 6$ となり、方程式は次のように因数分解できます。
$$(x + 1)(x^2 – 5x + 6) = 0$$
さらに2次式の部分を因数分解すると、
$$(x + 1)(x – 2)(x – 3) = 0$$
よって、解は $x = -1, 2, 3$ となります。
4. 高次方程式の解き方まとめステップ
- $P(k) = 0$ となる $k$ を探す（定数項の約数を試す）
- 組み立て除法を使って $P(x) = (x – k)Q(x)$ の形に因数分解する
- 商 $Q(x)$ が2次式になれば、因数分解または解の公式を使って解をすべて求める（虚数解が出る場合もあるので注意！）
このステップをマスターして、高次方程式を得意単元にしていきましょう！
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