未知数 $x$ が指数部分にある関数 $y = a^x$（指数関数） の性質と、その方程式・不等式の解き方を解説します。
1. 指数関数 $y = a^x$ のグラフと性質
底 $a$ の大きさによってグラフの形（単調増加か単調減少か）が変わります。
① 底 $a > 1$ のとき（右上がりの増加関数）
- $x$ が大きくなると $y$ も大きくなる（$x_1 < x_2 \iff a^{x_1} < a^{x_2}$）。
- 例: $y = 2^x$
② 底 ② 底 $0 < a < 1$ のとき（右下がりの減少関数）
< a < 1$ のとき（右下がりの減少関数）
- $x$ が大きくなると $y$ は小さくなる（$x_1 < x_2 \iff a^{x_1} > a^{x_2}$）。
- 例: $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x = 2^{-x}$
共通するグラフの特徴
- 必ず点 $(0, 1)$ と $(1, a)$ を通る。
- $x$ 軸（直線 $y = 0$）が漸近線となる（$y > 0$）。
2. 指数方程式の解き方
両辺の底（てい）を揃えるのが鉄則です。
例題
方程式 $8^x = 32$ を解け。
【解答】
両辺の底を $2$ に揃えます。
$(2^3)^x = 2^5 \implies 2^{3x} = 2^5$
指数を比較して、 $3x = 5 \implies x = \frac{5}{3}$
3. 指数不等式の解き方と「超重要注意点」
不等式を解く際も底を揃えますが、底の大きさによる不等号の向きの変化に最大の注意が必要です。
- 底 $a > 1$ のとき：指数の大小比較で 不等号の向きは変わらない。
- 底 $0 < a < 1$ のとき：指数の大小比較で 不等号の向きが逆転する！
例題
不等式 $\left(\frac{1}{3}\right)^x > \frac{1}{27}$ を解け。
【解答】
底を $\frac{1}{3}$ に揃えると、$\left(\frac{1}{3}\right)^x > \left(\frac{1}{3}\right)^3$
底 $\frac{1}{3}$ は $1$ より小さいので、指数の大小関係をとると不等号の向きが逆になり、
$x < 3$
4. まとめ
- グラフは必ず点 $(0, 1)$ を通る。
- 指数不等式で底が $1$ より小さいときは不等号の向きを反転させる。
教育サイトアフリエイトPR
- 安さ＆予備校級の講義動画なら 👉 [スタディサプリ高校講座]
- 定期テスト＆推薦入試対策なら 👉 [進研ゼミ高校講座]
- 難関大突破＆記述・添削なら 👉 [Ｚ会の通信教育]
コメント