数列の最後の難関であり、記述試験・2次試験でも超頻出のテーマが「数学的帰納法（すうがくてききのうほう）」です。
「言葉は聞いたことがあるけど、何をやっているのか分からない…」「$n=k$ のとき成りたつと仮定して…のくだりが胡散臭く感じる」と戸惑う高校生も少なくありません。
しかし、数学的帰納法の本質は「無限に続くドミノ倒し」と同じです。仕組みさえ一度理解してしまえば、型が決まっている分、記述問題で確実に満点を狙える得意分野になります！
この記事では、数学的帰納法のイメージから、絶対に書いておくべき「証明の基本テンプレート」、定番の例題まで丁寧に解説します！
1. 数学的帰納法とは？（基本イメージはドミノ倒し！）
数学的帰納法とは、「すべての自然数 $n$ について、ある主張（等式や不等式）が正しいこと」を証明するための手法です。
自然数は $1, 2, 3, \dots$ と無限に続くため、1つずつ代入して確かめることは不可能です。
そこで、次の2つのステップだけを証明します。
Plaintext
【数学的帰納法の2ステップ】
[Step 1] n = 1 のとき成り立つことを示す
➔「最初のドミノ（1番目）が倒れる」
[Step 2] n = k のとき成り立つと仮定すると、n = k + 1 のときも成り立つことを示す
➔「k 番目のドミノが倒れれば、必ず次の (k + 1) 番目も倒れる」
この2つが証明できればどうなるでしょうか？
- [Step 1] より、1番目のドミノが倒れる。
- [Step 2] より、1番目が倒れたので2番目も倒れる。
- [Step 2] より、2番目が倒れたので3番目も倒れる。
- これが無限に続いてすべてのドミノが倒れる！
これが、数学的帰納法で「すべての自然数 $n$ で成り立つ」と言える仕組みです！
2. 【そのまま使える】証明の基本テンプレート
記述対策として、以下の標準フォーマット（型）を丸ごと覚えてしまいましょう。
【証明テンプレート】
命題を (A) とする。
[1] $n = 1$ のとき
（左辺）$= \dots$
（右辺）$= \dots$
よって、$n = 1$ のとき (A) は成り立つ。
[2] $n = k$ のとき (A) が成り立つと仮定すると、
（ここに仮定の式をかく）・・・①
$n = k + 1$ のとき、
（左辺）$= \dots$ （①の仮定を使って変形する）
$= \dots =$（右辺）
よって、$n = k + 1$ のときも (A) は成り立つ。
[1], [2] より、すべての自然数 $n$ について (A) は成り立つ。 $\quad \blacksquare$
3. 例題で証明の流れをマスターしよう！
例題：等式の証明
【問題】
すべての自然数 $n$ について、次の等式が成り立つことを数学的帰納法で証明せよ。
$$1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{1}{2} n(n + 1) \quad \dots \text{(A)}$$
【解答・解説】
証明する等式を (A) とする。
[1] $n = 1$ のとき
- （左辺）$= 1$
- （右辺）$= \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot (1 + 1) = 1$
よって、（左辺）$=$（右辺）となり、$n = 1$ のとき (A) は成り立つ。
[2] $n = k$ のとき (A) が成り立つと仮定すると、
$$1 + 2 + 3 + \dots + k = \frac{1}{2} k(k + 1) \quad \dots \text{①}$$
$n = k + 1$ のときの (A) の左辺を計算する。
（※ 目標のゴール地点：$\frac{1}{2}(k + 1)(k + 2)$ に向かって変形していきます）
$$(\text{左辺}) = 1 + 2 + 3 + \dots + k + (k + 1)$$
ここで、波線部分に仮定 ① を代入します！
$$(\text{左辺}) = \color{red}{\frac{1}{2} k(k + 1)} + (k + 1)$$
共通因数 $(k + 1)$ でくくります。
$$= (k + 1) \left( \frac{1}{2} k + 1 \right)$$
$$= \frac{1}{2} (k + 1) (k + 2)$$
これは (A) の $n = k + 1$ のときの右辺と一致する。
よって、$n = k + 1$ のときも (A) は成り立つ。
[1], [2] より、すべての自然数 $n$ について (A) は成り立つ。 $\quad \blacksquare$
4. 数学的帰納法を攻略するためのコツ
① ゴールの形をあらかじめ「下書き用紙」に書いておく！
[Step 2] で変形を進めるときに迷子にならないよう、「$n = k + 1$ を代入した目標の形（ゴール）」を問題用紙の端にメモしておきましょう。その形を目指して通分や因数分解を行えば確実に辿り着けます。
② かならず仮定した式（①）を途中で使う！
数学的帰納法の解答で一番重要なのは、「$n = k$ で仮定した式をどこで使ったか」をはっきり示すことです。仮定を使わずに証明できてしまった場合は、変形のやり方か考え方が間違えているサインです。
5. まとめ
今回は「数学的帰納法」の基本と証明手順について解説しました。
- 本質： 1番目が倒れる＋$k$ 番目が倒れれば $(k+1)$ 番目も倒れる（ドミノ倒し）
- 手順：
- $n=1$ での成立を示す
- $n=k$ での成立を仮定し、$n=k+1$ で成立することを示す
- まとめの一文を添える
- コツ： $n=k+1$ のときの「目指すべきゴール」をはじめに把握しておく
数学的帰納法は、慣れてしまえば「書くべき文章のパターン」が決まっているため、テストで安定して高得点を取れるサービス問題になります。テンプレに沿って何度も答案を書く練習をしてみてください！
次回は、数学Bのもう一つの大柱である「第2章：統計的な推測」より、「【数学B】2-1: 確率変数と確率分布を分かりやすく解説！」をお届けします！
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