中学数学で「 $0.\dot{3} = \frac{1}{3}$ 」のように、循環小数を分数に直すテクニックを習いましたよね。
実はあの計算、数学Ⅲで学ぶ「無限等比級数」の考え方そのものです。
この記事では、中学のやり方のおさらいと、数学Ⅲの知識を使ってスマートに循環小数を分数に直す方法をわかりやすく解説します！
1. 循環小数とは？（無限等比級数としての視点）
例えば、循環小数 $0.121212\dots$ （$0.\dot{1}\dot{2}$ とも書く）は、無限個の小数の足し算として次のように書き換えることができます。
$$0.121212\dots = 0.12 + 0.0012 + 0.000012 + \dots$$
これを分数に直して並べると、
$$\frac{12}{100} + \frac{12}{10000} + \frac{12}{1000000} + \dots$$
これはまさに、初項 $a = \frac{12}{100}$、公比 $r = \frac{1}{100}$ の無限等比級数になっています！
2. 無限等比級数の公式を使って分数に直してみる
先ほどの $0.121212\dots$ を、数学Ⅲの「無限等比級数の和の公式 $S = \frac{a}{1-r}$」を使って実際に計算してみましょう。
【計算手順】
- 初項 $a$ と公比 $r$ を特定する
- 初項 $a = \frac{12}{100}$
- 公比 $r = \frac{1}{100}$ （$$-1 < \frac{1}{100} < 1$$を満たすため収束する）
- 公式に代入して計算する$$S = \frac{\frac{12}{100}}{1 – \frac{1}{100}} = \frac{\frac{12}{100}}{\frac{99}{100}}$$
- 分母を払って約分する$$= \frac{12}{99} = \mathbf{\frac{4}{33}}$$
見事にスッキリとした分数に直すことができました！
3. 中学数学の「裏技」との比較
ちなみに中学数学では、方程式を使って次のように一瞬で解くテクニックを習いました。
- $x = 0.121212\dots$ とおく
- $100x = 12.121212\dots$
- 引き算すると、$99x = 12 \implies x = \frac{12}{99} = \frac{4}{33}$
数学Ⅲの無限等比級数で計算した結果と、中学の裏技の結果が完全に一致します。
共通テストや二次試験のマークシート等で循環小数が絡んだときは、中学の裏技を使って素早く答えを出してしまって構いません。
4. まとめ：第1章（極限）の総括
- 循環小数は「初項と公比が同じ無限等比級数」として捉えることができる。
- 無限等比級数の和の公式 $S = \frac{a}{1-r}$ を使えば、どんな複雑な循環小数も必ず分数に直せる。
- 計算のスピードを重視するなら、中学時代に習った方程式のテクニックを活用してもOK。
これで「第1章：極限（Limits）」の全項目が完了です！
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