数学Ⅰの「三角比」では $0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$ の鋭角・鈍角までを扱いましたが、数学Ⅱの「三角関数」では角の範囲を360°以上や負の方向へ拡張（一般角）し、角の単位として弧度法（ラジアン）を導入します。
1. 一般角と動径
始線（基準となる線）から動径（回転する線）がどれだけ回転したかで角を表します。
- 正の向き：時計と反対回り（反時計回り）
- 負の向き：時計回り
動径が同じ位置に戻ってくるため、一般角 $\theta$ は整数 $n$ を用いて次のように表せます。
$$\theta = \alpha + 360^\circ \times n \quad \left(\text{または } \alpha + 2n\pi\right)$$
2. 弧度法（ラジアン）とは？
度数法（$^\circ$）に代わる新しい角の測り方が弧度法です。
定義
半径 $1$ の円において、弧の長さが $1$ である扇形の中心角の大きさ を $1 \text{ ラジアン (rad)}$ と定める。
半径1の円周全体の長さは $2\pi$ なので、$360^\circ = 2\pi \text{ rad}$、すなわち次が基本関係式となります。
$$180^\circ = \pi \text{ rad}$$
相互変換のコツ
- 度数法 $\to$ 弧度法：$\times \frac{\pi}{180}$（例: $60^\circ = 60 \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{3}$）
- 弧度法 $\to$ 度数法：$\pi$ を $180^\circ$ に置き換える（例: $\frac{3}{4}\pi = \frac{3}{4} \times 180^\circ = 135^\circ$）
3. 扇形の弧の長さと面積公式
半径 $r$、中心角 $\theta \text{ (rad)}$ の扇形について、以下の極めてシンプルな公式が成り立ちます。
$$\text{弧の長さ } l = r\theta$$
$$\text{面積 } S = \frac{1}{2}r^2\theta = \frac{1}{2}lr$$
度数法で使っていた $\times \frac{\theta}{360}$ という複雑な計算が不要になるのが弧度法の最大のメリットです。
4. まとめ
- $180^\circ = \pi$ を基準に度数法と弧度法を変換する。
- 弧度法における扇形の公式は $l = r\theta$ と $S = \frac{1}{2}r^2\theta$。
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