【数学B】2-6: 統計的推測！母平均の推定（95%信頼区間）を分かりやすく解説！

ここからいよいよ【第2章】統計的な推測のクライマックスに入ります！

テレビの視聴率調査や世論調査、製品の品質チェックなど、現実世界のデータ分析で最もよく使われる技術がこの「標本調査」と「母平均の推定」です。

全体のデータ（母集団）をすべて調べなくても、一部のデータ（標本）を調べるだけで「全体の平均値（母平均）はおそらくこの範囲にあるぞ！」と高精度で予測することができます。

この記事では、推定の考え方から「95%信頼区間」の公式、例題の解き方まで分かりやすく解説します！

1. 母集団と標本とは？（全体と一部の関係）

推定の話に入る前に、まずは用語の整理をしておきましょう。

私たちが知りたいのは「母平均 m」ですが、全数調査は無理なので、手元の「標本平均 X」を使って「母平均 m」の値を推測するわけです！

標本の大きさ n が十分に大きいとき、抜き出した標本の平均値 X には、次のような驚くべき性質があります。

💡 標本平均 X の分布の性質

母平均 m、母標準偏差 σ の母集団から大きさ n の無作為標本を抽出するとき、標本平均 X は近似的に正規分布 N(m,nσ2) に従う！

ポイントは、標本平均 X の標準偏差（ブレ具合）が nσ に小さくなるという点です。

（データをたくさん集めるほど、標本平均は母平均にぴったり近づいていきます！）

これを Z 化（標準化）すると、次の式になります。

Z=nσX−m

標準正規分布 N(0,1) において、確率が 95%（0.95）となる Z の範囲は −1.96≦Z≦1.96 です（正規分布表の p(1.96)=0.475 の 2 倍）。

この不等式を形変形して「母平均 m」について解き直したものが、次の「95% 信頼区間」の公式です！

X−1.96nσ,X+1.96nσ

「母平均 m が 95% の確率でこの区間に入る」という意味……ではありません！（ここがテストの正誤問題で狙われる最大の罠です）。

正しい意味は、「同じ手順で標本抽出をして信頼区間を作る作業を 100 回繰り返したとき、およそ 95 回の割合でその区間の中に本当の母平均 m が含まれる」という意味です！

💡 99% 信頼区間の場合は？

信頼度を 99% に上げたい場合は、係数 1.96 の部分を 2.58 に変えて計算します。

[X−2.58nσ,X+2.58nσ]

実際のテスト問題で計算手順を確認しましょう。

【問題】

ある工場で生産された電球から 100 個を無作為に抽出して寿命を調べたところ、平均値は 1500 時間であった。母標準偏差を 100 時間とするとき、母平均 m に対する信頼度 95% の信頼区間を求めよ。

Step 1：与えられた条件の数値を整理する

Step 2：95% 信頼区間の公式に代入する

公式は X±1.96nσ です。

まず、右側の調整部分（誤差の範囲）を計算します。

1.96×nσ=1.96×10100=1.96×10=19.6

Step 3：区間の端（下限と上限）を求める

【答え】

信頼区間： [1480.4, 1519.6]

（または 1480.4≦m≦1519.6）

💡 結果の解釈：

全部の電球を調べなくても、「この工場で作られた電球の平均寿命はおそらく 1480.4 時間から 1519.6 時間の間にあるぞ！」と推定できました！

今回は「母平均の推定（95%信頼区間）」について解説しました。

公式の形は一見複雑に見えますが、中心となる標本平均 X に「±1.96nσ」をくっつけているだけです。数値を落ち着いて整理して代入できるようにしておきましょう！

次回はいよいよ【数学B】シリーズの最終回！仮説が正しいかを判定する「【数学B】2-7: 仮説検定（考え方と解き方）を分かりやすく解説！」をお届けします！