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無限数列の極限のなかでも、入試で最も頻出かつ基礎となるのが「 $r^n$ の極限（無限等比数列）」です。「公比 $r$の値によって、極限がどう変わるのか？」という場合分けをマスターすることが、数学Ⅲの微積分や数列の極限を突破する第一歩になり...

数列や関数の極限を計算するとき、誰もが最初につまずくのが「不定形（ふていけい）」の扱いです。そのまま $n \to \infty$ とすると「$\frac{\infty}{\infty}$」や「$\infty - \infty$」になってし...

数列の極限において、直接極限値を計算するのが難しい複雑な式（ガウス記号、三角関数、階乗など）を扱う際の強力な武器が「はさみうちの原理」です。また、入試では「数学B（数学C）の漸化式」と組み合わせた漸化式・極限の融合問題として頻出します。この...

前回の「数列の極限」に続いて、今回からは「関数の極限」に入ります。数列では $n$ が「自然数として無限大（$\infty$）」に近づくのに対し、関数では $x$ が「実数としてある値 $a$ に近づく」または「プラス・マイナス無限大に近づ...

数学Ⅲの極限や微分で、最も頻出かつ絶対に覚えておくべき超重要公式がこちらです。$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$$なぜこの値が $1$ になるのかという「証明（図形的なはさみうち）」は、二次試験の記...

数学Ⅲの後半や微積分の計算において、絶対避けて通れないのが「自然対数の底 $e$（ネイピア数）」です。一見すると難しそうに見える「 $e$ の定義」や、指数・対数関数に関する極限の公式ですが、パターンを掴んでしまえば得点源にしやすい単元です...

ここまで「数列の極限」「関数の極限」を学んできましたがいよいよ第1章のラストスパート、「無限級数（むげんきゅうすう）」に入ります。「無限個の数字を次々に足し合わせていったら、合計はどうなるのか？」という、数学的におもしろく、かつ入試でも頻出...

無限級数のなかでも、受験数学で最も高確率で出題される（そして得点源にしなければならない）のがこの「無限等比級数」です。「初項 $a$、公比 $r$ の等比数列をどこまでも足し続けていくと、合計はどうなるのか？」という公式と、入試で大人気の「...

中学数学で「 $0.\dot{3} = \frac{1}{3}$ 」のように、循環小数を分数に直すテクニックを習いましたよね。実はあの計算、数学Ⅲで学ぶ「無限等比級数」の考え方そのものです。この記事では、中学のやり方のおさらいと、数学Ⅲの知...

第1章で学んだ「極限」の概念を駆使して、いよいよ数学Ⅲの最大の山場である「微分法（Differentiation）」へと入っていきます。数学Ⅱでも微分を習いましたが、数学Ⅲでは扱う関数が三角関数・指数関数・対数関数・分数関数へと一気に広がり...