高校

第2章で「微分法」をマスターし、いよいよ数学Ⅲのもう一つの巨大な柱である「積分法（Integration）」に突入します！積分は一言でいうと「微分の逆算（反微分）」です。「何を微分したらこの形になるか？」を逆からパズル感覚で考えることが積分...

積分計算のなかで、微分法の「合成関数の微分（チェーンルール）」に対応する最強のテクニックが、この「置換積分法（せきちかんせきぶんほう）」です。「そのままでは積分できない複雑な式」も、一部分を別の文字（$t$ など）に置き換えることで、見違え...

置換積分法と並び、数学Ⅲの積分計算で超頻出かつ強力な計算手法が「部分積分法（ぶぶんせきぶんほう）」です。2つの異なる種類の関数（例：多項式 × 三角関数、多項式 × 指数関数など）が掛け合わされた式を見たとき、この部分積分法が威力を発揮しま...

積分計算の応用編として、入試で非常に差がつくのが「有理関数（分数式）の積分」と「三角関数の高次（べき乗）の積分」です。そのままでは手が出せない複雑な式も、適切な変形技（部分分数分解や三角関数の変形公式）を使うことで、基本公式の形に持ち込むこ...

積分法の単元において、国公立大学や難関私大の2次試験で最も狙われやすいのが、「定積分で表された関数」に関する問題です。「積分の中に変数 $x$ が混ざっている」「極限の式と積分が合体している」といった一見して複雑な問題も、決まったパターン（...

積分法の応用のなかで、最も王道かつ得点源にしなければならないのが「図形の面積」を求める問題です。数学Ⅱでも曲線と直線の間の面積を求めましたが、数学Ⅲでは対数関数・指数関数・三角関数や、複雑な分数関数が絡むグラフの面積を扱うようになります。こ...

面積を求める問題で、「$x$ 軸で積分しようとすると、式が複雑になりすぎて無理…」「上下ではなく、左右で挟まれた面積を求めたい！」というときに必要になるのが、「$y$ 軸方向の積分」と「逆関数を利用した面積のテクニック」です。この記事では、...

数学Ⅲの積分応用のなかでも、多くの受験生が「立体を頭の中でイメージするのが難しい…」とつまずきやすいのが「体積（回転体）」の単元です。しかし、基本の考え方さえ押さえてしまえば、どんな複雑な立体も「薄い円盤（または円柱）をたくさん積み重ねるパ...

$y$ 軸のまわりに回転させてできる体積を求めるとき、通常の手順（$x^2$ を $y$ で積分）を行おうとすると「$x = f(y)$ の形に変形できない…」と詰まってしまうことがあります。そんなときに劇的な威力を発揮するのが、俗に「バー...

数学Ⅲの積分法の最後を飾るテーマが、グラフが描く「曲線の長さ（あるいは道のり）」を求める問題です。直線と違ってグニャグニャ曲がった線の長さをどうやって測るのか？――その発想の原点は、中学校で習った「三平方の定理（ピタゴラスの定理）」にありま...